Java实验3 第十一题：游戏：双骰儿赌博
一、问题概述
双骰游戏是一种赌博游戏，玩家下注后掷出两颗骰子，根据骰子点数之和判断输赢。本文将建立一个数学模型，分析玩家在双骰游戏中的胜率及下注策略。
二、模型假设
1. 在双骰游戏中，每次掷骰子的结果是独立的，即前一次掷骰子的结果不会影响下一次掷骰子的结果；
2. 每次掷骰子的结果只与骰子的点数有关，与骰子的大小、形状等因素无关；
3. 玩家和庄家均采用理性决策，即他们的决策都是基于最大化自己的利益的。
三、符号说明
1. $P_{win}$：玩家获胜的概率；
2. $P_{lose}$：玩家失败的概率；
3. $P_{point}$：玩家进入点数阶段的概率；
4. $P_{7}$：玩家在点数阶段中掷出7的概率；
5. $P_{point_win}$：玩家在点数阶段中获胜的概率；
6. $P_{point_lose}$：玩家在点数阶段中失败的概率；
7. $P_{4}$、$P_{5}$、$P_{6}$、$P_{8}$、$P_{9}$、$P_{10}$：玩家进入点数阶段时，点数为4、5、6、8、9、10的概率；
8. $P_{2}$、$P_{3}$、$P_{12}$：出场掷两颗骰子点数之和是2、3、12的概率；
9. $P_{7_out}$：玩家在点数阶段中掷出7而失败的概率。
四、模型建立
1. 出场阶段
根据游戏规则，出场掷两颗骰子点数之和是7、11，玩家赢，出场掷两颗骰子点数之和是2、3、12，玩家输。因此，玩家获胜的概率为：
$$P_{win}=frac{P_{7}+P_{11}}{P_{2}+P_{3}+P_{12}+P_{7}+P_{11}}$$
玩家失败的概率为：
$$P_{lose}=frac{P_{2}+P_{3}+P_{12}}{P_{2}+P_{3}+P_{12}+P_{7}+P_{11}}$$
其中，$P_{7}$表示掷出两颗骰子点数之和是7的概率，$P_{11}$表示掷出两颗骰子点数之和是11的概率，$P_{2}$、$P_{3}$、$P_{12}$分别表示掷出两颗骰子点数之和是2、3、12的概率。
2. 点数阶段
当出场掷两颗骰子点数之和是4、5、6、8、9、10时，玩家进入点数阶段，此时，该数字成为牌点，玩家需要继续掷骰子，直到牌点或点数之和7出现。如果牌点先出现，玩家赢，如果7先出现，玩家输。
根据全概率公式，玩家进入点数阶段的概率为：
$$P_{point}=P_{4}+P_{5}+P_{6}+P_{8}+P_{9}+P_{10}$$
其中，$P_{4}$、$P_{5}$、$P_{6}$、$P_{8}$、$P_{9}$、$P_{10}$分别表示出场掷两颗骰子点数之和是4、5、6、8、9、10的概率。
当玩家进入点数阶段时，掷出7的概率为：
$$P_{7}=frac{6}{36}=frac{1}{6}$$
掷出牌点的概率为：
$$P_{point_win}=frac{P_{4}+P_{5}+P_{6}+P_{8}+P_{9}+P_{10}}{36}$$
掷出7而失败的概率为：
$$P_{7_out}=frac{P_{7}P_{lose}}{P_{point}}$$
掷出牌点而获胜的概率为：
$$P_{point_win}=frac{P_{point}-P_{7_out}}{1-P_{7}}$$
掷出牌点而失败的概率为：
$$P_{point_lose}=1-P_{7}-P_{point_win}$$
五、模型求解
1吉祥体育app. 出场阶段
根据游戏规则，掷出两颗骰子点数之和是2、3、12的概率为：
$$P_{2}=P_{3}=frac{1}{36}$$
$$P_{12}=frac{1}{36}$$
掷出两颗骰子点数之和是7、11的概率为：
$$P_{7}=P_{6}+P_{8}=frac{6}{36}=frac{1}{6}$$
$$P_{11}=P_{5}+P_{6}=frac{2}{36}=frac{1}{18}$$
因此半岛体育官方网站，玩家获胜的概率为：
$$P_{win}=frac{1}{6}+frac{1}{18}=frac{2}{9}approx0.222$$
玩家失败的概率为：
$$P_{lose}=frac{1}{36}+frac{1}{36}+frac{1}{36}=frac{1}{12}approx0.0833$$
2. 点数阶段
根据游戏规则半岛综合体育官方app下载，出场掷两颗骰子点数之和是4、5、6、8、9、10的概率为：
$$P_{4}=P_{10}=frac{3}{36}=frac{1}{12}$$
$$P_{5}=P_{9}=frac{4}{36}=frac{1}{9}$$
$$P_{6}=P_{8}=frac{5}{36}approx0.139$$
因此，玩家进入点数阶段的概率为：
$$P_{point}=frac{1}{12}+frac{1}{9}+2 imes0.139approx0.492$$
掷出7的概率为：
$$P_{7}=frac{1}{6}$$
掷出牌点的概率为：
$$P_{point_win}=frac{frac{1}{12}+frac{1}{9}+2 imes0.139}{36}approx0.0907$$
掷出7而失败的概率为：
$$P_{7_out}=frac{frac{1}{6} imesfrac{1}{12}}{0.492}approx0.0324$$
掷出牌点而获胜的概率为：
$$P_{point_win}=frac{0.492-0.0324}{1-frac{1}{6}}approx0.4118$$
掷出牌点而失败的概率为：
$$P_{point_lose}=1-frac{1}{6}-0.4118approx0.2212$$
六、结论
综合出场阶段博彩游戏和点数阶段的结果，玩家获胜的总概率为：
$$P_{total}=frac{2}{9} imes(1-P_{point})+0.4118 imes 博彩游戏 P_{point}=frac{2}{9} imes(1-0.492)+0.4118 imes0.492approx0.2412$$
玩家的失败概率为：
$$P_{total_lose}=1-P_{total}approx0.7588$$
